Đề bài: Cho $x$ là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=\frac{\sqrt{3\left( 2{{x}^{2}}+2x+1 \right)}}{3}+\frac{1}{\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( 3-\sqrt{3} \right)x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( 3+\sqrt{3} \right)x+3}}$$ Continue reading
Bài toán: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $3\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )-7\left ( x ^{2}+y^{2}+z^{2}\right )+12=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^{2}}{x+2y}.$$ Continue reading
Bất đẳng thức qua các đề thi HSG môn Toán của các trường, các tỉnh trên cả nước 2014 – 2015
Tăng Hải Tuân
Download tại: Bất đẳng thức qua các đề thi HSG môn Toán của các trường, các tỉnh trên cả nước 2014 – 2015
Đề bài
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) + (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge (a+b+c)^2.$$ Continue reading
Đề bài: Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\dfrac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{abcd}.$$ Continue reading
Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $$a^2+b^2+c^2 = 2(ab+bc+ca).$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=a+b+c+\dfrac{1}{abc}-\dfrac{9}{a+b+c}.$$
Trích đề thi chọn HSG Quốc Gia môn Toán – TP Hà Nội – 2014-2015 Continue reading
Đề bài: Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}}+\sqrt{\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca}}+\sqrt{\dfrac{c(a+b)}{c^2+ab}}\ge 2$$ Continue reading
Đề bài
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $ab+bc+ca = 1$. Chứng minh rằng $$2abc(a+b+c) \le \dfrac{5}{9} + a^4b^2 + b^4c^2 + c^4a^2.$$ Continue reading
Đề bài
Tìm $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi $a, \ b, \ c$ :
$$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge k(ab+bc+ca)^2.$$ Continue reading
Đề bài
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[P=\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}}+\frac{4bc}{{{(b+c)}^{2}}}\] Continue reading