Đề bài
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}) + (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge (a+b+c)^2.$$ Continue reading
Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $$a^2+b^2+c^2 = 2(ab+bc+ca).$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=a+b+c+\dfrac{1}{abc}-\dfrac{9}{a+b+c}.$$
Trích đề thi chọn HSG Quốc Gia môn Toán – TP Hà Nội – 2014-2015 Continue reading
Đề bài: Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}}+\sqrt{\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca}}+\sqrt{\dfrac{c(a+b)}{c^2+ab}}\ge 2$$ Continue reading
Đề bài
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[P=\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}}+\frac{4bc}{{{(b+c)}^{2}}}\] Continue reading
Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số thực dương thì: $$\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \right)\geq4 .$$ Continue reading
Đề bài
Cho $a, b, c $ là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{2-a}+\dfrac{1}{2-b}+\dfrac{1}{2-c} \ge 3$$ Continue reading
Đề bài :
Với $a,b,c$ là ba số thực dương. Chứng minh rằng $$(a+b+c)^5\ge 27(a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ca).$$
Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a,b,c$ là các số thực dương thì: $$\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \right)\geq4 .$$
Problem
Let $x,y$ be reals s.t. $x^2y^2\leq1$ and $n$ a natural number. Prove that:
$$ (x^n+y)^2+y^2\geq\dfrac{1}{n+2}(x^2+y^2)^n$$ Continue reading