Olympic 30-4 THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định

Đề bài:
Cho x,y,z là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 13(yzx2+zxy2+xyz2)+(xyz(x+y+z)x2y2+y2z2+z2x2)22
Bài làm
Đặt a=1x, b=1y, c=1z, ta cần chứng minh 13(a2bc+b2ca+c2ab)+(ab+bc+caa2+b2+c2)22. Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức CauchySchwarz và bất đẳng thức quen thuộc 3abc(a+b+c)(ab+bc+ca)2, ta có 13(a2bc+b2ca+c2ab)(a2+b2+c2)23abc(a+b+c)(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca)2. Do đó, bất đẳng thức sẽ được chứng minh
nếu ta chỉ ra được (a2+b2+c2ab+bc+ca)2+(ab+bc+caa2+b2+c2)22. Hiển nhiên đúng theo AMGM.
Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hay x=y=z. ◼

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *