Olympic 30-4 THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định

Đề bài:

Cho

x, y, z

là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

\frac{1}{3} (\frac{y z}{x^{2}} + \frac{z x}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}}) + {(\frac{x y z (x + y + z)}{x^{2} y^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2} x^{2}})}^{2} \geq 2

Bài làm

Đặt

a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z}

, ta cần chứng minh

\frac{1}{3} (\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{c a} + \frac{c^{2}}{a b}) + {(\frac{a b + b c + c a}{a^{2} + b^{2} + c^{2}})}^{2} \geq 2.

Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức

C a u c h y - S c h w a r z

và bất đẳng thức quen thuộc

3 a b c (a + b + c) \leq (a b + b c + c a)^{2}

, ta có

\frac{1}{3} (\frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{c a} + \frac{c^{2}}{a b}) \geq \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}{3 a b c (a + b + c)} \geq \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}{(a b + b c + c a)^{2}} .

Do đó, bất đẳng thức sẽ được chứng minh

nếu ta chỉ ra được

{(\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a b + b c + c a})}^{2} + {(\frac{a b + b c + c a}{a^{2} + b^{2} + c^{2}})}^{2} \geq 2.

Hiển nhiên đúng theo

A M - G M .

Bài toán được chứng minh xong.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a = b = c

hay

x = y = z .

Tăng Hải Tuân