Bất đẳng thức thi thử lần 1 THPT Chuyên Sư phạm Hà Nội năm 2015

Đề bài: Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\dfrac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{abcd}.$$

Giải
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có :
$$\begin{align}
(ab+cd)(ad+bc)&\ge {{(a\sqrt{bd}+c\sqrt{bd})}^{2}} \\
& =bd{{(a+c)}^{2}}. \\
(ab+cd)(bc+ad)& \ge {{(b\sqrt{ac}+d\sqrt{ac})}^{2}} \\
& =ac{{\left( b+d \right)}^{2}}. \\
\end{align}$$
Nhân vế với vế hai bất đẳng thức trên, ta thu được $$(ad+cd)^2(ad+bc)^2 \ge abcd(a+c)^2(b+d)^2,$$ tương đương $$\dfrac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{abcd}.$$
Bài toán chứng minh xong, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d. \ \blacksquare$


Deprecated: category_link is deprecated since version 2.5.0! Use term_link instead. in /home/nginx/domains/tanghaituan.com/public/wp-includes/functions.php on line 5088

Deprecated: tag_link is deprecated since version 2.5.0! Use term_link instead. in /home/nginx/domains/tanghaituan.com/public/wp-includes/functions.php on line 5088

Deprecated: tag_link is deprecated since version 2.5.0! Use term_link instead. in /home/nginx/domains/tanghaituan.com/public/wp-includes/functions.php on line 5088
This entry was posted in Bất đẳng thức trong các đề thi thử Đại học and tagged , on by .

1 thought on “Bất đẳng thức thi thử lần 1 THPT Chuyên Sư phạm Hà Nội năm 2015

  1. sieunhanbdt

    Bđt((ab +cd)(bc +ad))/(ab +cd +bc +cd )>= √(abcd )
    nghịch đảo hai vế (đổi chiều)
    1/(ab+cd )+1/(ad+bc)<=1/√(abcd) (*)
    +) 1/(ab+cd ) <=1/2√(abcd)
    +) 1/( bc+ad)<=1/2√(abcd)
    Cộng hai vế suy ra (*)
    (!!!) Bài toán có tính chất lừa tình rất là cao!

    Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *