Bài toán: Một chất điểm tham gia N dao động cùng phương, cùng tần số. Phương trình các dao động thành phần lần lượt là
$x_1=A\cos(\omega t)$
$x_2=A\cos(\omega t +\varphi)$
$x_3=A\cos(\omega t +2\varphi)$
…
$x_N=A\cos(\omega t +(N-1) \varphi).$
Tính biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp ?
Bài giải
Sử dụng phương pháp giản đồ Fresnen , ta có $$A^2 = A_x^2 + A_y^2, \ \ \tan \varphi_0 = \dfrac{A_y}{A_x}.$$ Trong đó
\[\left\{ \begin{align}
& {{A}_{y}}=0+A\sin \varphi +A\sin 2\varphi +\sin 3\varphi +…+\sin \left( N-1 \right)\varphi \\
& {{A}_{x}}=A+A\cos \varphi +A\cos 2\varphi +\cos 3\varphi +…+\cos \left( N-1 \right)\varphi \\
\end{align} \right.\]
Ta có:
\[\begin{align}
{{A}_{y}}\cdot \sin \frac{\varphi }{2}&=A\left( \sin \varphi \cdot \sin \frac{\varphi }{2}+\sin 2\varphi \cdot \sin \frac{\varphi }{2}+\sin 3\varphi \cdot \sin \frac{\varphi }{2}+…+\sin \left( N-1 \right)\varphi \cdot \sin \frac{\varphi }{2} \right) \\
& =\frac{A}{2}\left( \cos\frac{\varphi }{2}-\cos \frac{3\varphi }{2}+\cos \frac{3\varphi }{2}-\cos \frac{5\varphi }{2}+…+\cos \frac{\left( 2N-3 \right)\varphi }{2}-\cos \frac{\left( 2N-1 \right)\varphi }{2} \right) \\
& =\frac{A}{2}\left( \cos \frac{\varphi }{2}-\cos \frac{\left( 2N-1 \right)\varphi }{2} \right) \\
& =A\sin \frac{N\varphi }{2}\cdot \sin \frac{\left( N-1 \right)\varphi }{2} \\
\end{align}\]
Và \[\begin{align}
{{A}_{x}}\cdot \sin \frac{\varphi }{2}&=A\left( \sin \frac{\varphi }{2}+\cos \varphi \cdot \sin \frac{\varphi }{2}+\cos 2\varphi \cdot \sin \frac{\varphi }{2}+\cos 3\varphi \cdot \sin \frac{\varphi }{2}+…+\cos \left( N-1 \right)\varphi \cdot \sin \frac{\varphi }{2} \right) \\
& =\frac{A}{2}\left( 2\sin \frac{\varphi }{2}-\sin \frac{\varphi }{2}+\sin \frac{3\varphi }{2}-\sin \frac{3\varphi }{2}+\sin \frac{5\varphi }{2}-…-\sin \frac{\left( 2N-3 \right)\varphi }{2}+\sin \frac{\left( 2N-1 \right)\varphi }{2} \right) \\
& =\frac{A}{2}\left( \sin \frac{\varphi }{2}+\sin \frac{\left( 2N-1 \right)\varphi }{2} \right) \\
& =A\sin \frac{N\varphi }{2} \cdot \cos \frac{\left( N-1 \right)\varphi }{2} \\
\end{align}\]
Từ đó suy ra
$$A=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}=A \frac{\sin \frac{N\varphi }{2}}{\sin \frac{\varphi }{2}} .$$
$$\tan {{\varphi }_{0}}=\frac{{{A}_{y}}}{{{A}_{x}}}=\tan \frac{\left( N-1 \right)\varphi }{2}.$$