Đề bài

Tìm $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi $a, \ b, \ c$ :

$$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge k(ab+bc+ca)^2.$$

Lời giải

Cho $a=b=c$ ta có $k \le \dfrac{2}{3}.$ Ta sẽ chứng minh $k=\dfrac{2}{3}$ chính là giá trị cần tìm. Tức là cần chứng minh

$$3(a^4+b^4+c^4)+3abc(a+b+c) \ge 2(ab+bc+ca)^2.$$

Tương đương

$$3(a^4+b^4+c^4) \ge 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) + abc(a+b+c).$$

Thật vậy, ta có

$$\begin{align}
3\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right) & =2\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right)+{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \\
&\ge 2\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}} \right)+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}} \\
&\ge 2\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}} \right)+ab\cdot bc+bc\cdot ca+ca\cdot ab \\
&=2\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}} \right)+abc\left( a+b+c \right). \\
\end{align}$$

Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c \ \blacksquare$