Đề bài: Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\dfrac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{abcd}.$$

Giải
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có :
$$\begin{align}
(ab+cd)(ad+bc)&\ge {{(a\sqrt{bd}+c\sqrt{bd})}^{2}} \\
& =bd{{(a+c)}^{2}}. \\
(ab+cd)(bc+ad)& \ge {{(b\sqrt{ac}+d\sqrt{ac})}^{2}} \\
& =ac{{\left( b+d \right)}^{2}}. \\
\end{align}$$
Nhân vế với vế hai bất đẳng thức trên, ta thu được $$(ad+cd)^2(ad+bc)^2 \ge abcd(a+c)^2(b+d)^2,$$ tương đương $$\dfrac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{abcd}.$$
Bài toán chứng minh xong, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d. \ \blacksquare$