Đề bài
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[P=\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}}+\frac{4bc}{{{(b+c)}^{2}}}\]Lời giải
Như thường lệ, công việc đầu tiên là dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào.
Nhận thấy rằng vai trò của $b,c$ là như nhau, nên dự đoán đẳng thức xảy ra khi $b=c$. Khi đó $P$ có dạng
\[\begin{align}
P & =\sqrt{(a+b+c)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}+\frac{4bc}{{{(b+c)}^{2}}} \\
& =\sqrt{(a+2b)\left( \frac{1}{a}+\frac{2}{b} \right)}+\frac{4{{b}^{2}}}{{{(b+b)}^{2}}} \\
& =\sqrt{1+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}+4}+1 \\
\end{align}\]
Đến đây, dễ dàng nhận thấy $\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}=1$ nên ta sẽ sử dụng $AM-GM$ để đánh giá, khi đó ta có
$$\begin{align}
P & \ge \sqrt{1+2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}+4}+1 \\
& =4. \\
\end{align}$$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b$, kết hợp với dự đoán ở trên là $b=c$, thì đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ và khi đó $P=4$.
Tóm lại, ta đã dự đoán đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ và giá trị nhỏ nhất của $P$ là $4$, và bây giờ ta đi chứng minh dự đoán trên là đúng.
Biểu thức $P$ chứa một căn thức, và điều đầu tiên ta nghĩ đến đó là làm cách khử căn thức, vì khi đó việc chứng minh sẽ trở nên “thoáng” hơn.
Vì biểu thức trong căn $$\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}=\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$$ có dạng tích của hai biểu thức, nên để phá căn, mình nghĩ ngay đến bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $$\sqrt{(A+B)(X+Y)} \ge \sqrt{AX}+\sqrt{BY}. \ \ (1)$$ Vấn đề bây giờ là tìm $A,X,B,Y$ để sử dụng.
Quan sát biểu thức $P$, nhận thấy rằng $P$ tự nhiên xuất hiện đại lượng $\dfrac{4bc}{(b+c)^2}$ đại lượng này có 2 biến $b,c$ đối xứng, nên ý tưởng của tôi là đánh giá $\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}}$ sao cho sau khi đánh giá sẽ mất đi biến $a$ để đưa về hai biến $b,c$. Vì hiển nhiên việc chứng minh 1 bất đẳng thức 2 biến sẽ dễ thở hơn việc chứng minh 1 bất đẳng thức 3 biến.
Kết hợp với lập luận ở trên, tôi sẽ sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $(1)$ để làm mất biến $a$.
Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $(1)$, ta có :
\[\sqrt{(a+b+c)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}\ge \sqrt{a.\frac{1}{a}}+\sqrt{\left( b+c \right)\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}=1+\frac{b+c}{\sqrt{bc}}\] Tất nhiên đánh giá này của ta vẫn thỏa mãn điều kiện dấu bằng mà ta dự đoán là $a=b=c$, vì điều kiện dấu bằng của đánh giá trên là : $$\frac{a}{\frac{1}{a}}=\frac{b+c}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.$$
Vậy ta có $$P \ge 1 + \frac{b+c}{\sqrt{bc}} + \frac{4bc}{(b+c)^2}.$$ Đến đây, nhận xét rằng $\dfrac{b+c}{\sqrt{bc}}$ khi bình phương lên sẽ có dạng nghịch đảo của $\dfrac{bc}{(b+c)^2}$, mà ở đây ta cần chứng minh $P$ lớn hơn hoặc bằng giá trị nào đó, nên tôi sẽ tách $\dfrac{b+c}{\sqrt{bc}}$ thành $\dfrac{b+c}{2\sqrt{bc}}$ và $\dfrac{b+c}{2\sqrt{bc}}$ để sử dụng $AM-GM$ cho ba số như sau :
$$\begin{align}
P &\ge 1+\frac{b+c}{\sqrt{bc}}+\frac{4bc}{{{\left( b+c \right)}^{2}}} \\
&=1+\frac{b+c}{2\sqrt{bc}}+\frac{b+c}{2\sqrt{bc}}+\frac{4bc}{{{\left( b+c \right)}^{2}}} \\
&\ge 1+3\sqrt[3]{\frac{b+c}{2\sqrt{bc}}.\frac{b+c}{2\sqrt{bc}}.\frac{4bc}{{{\left( b+c \right)}^{2}}}} \\
&=4. \\
\end{align}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ nên giá trị nhỏ nhất của $P$ là $4$.
Bài toán được chứng minh xong $ \ \blacksquare$