Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $$a^2+b^2+c^2 = 2(ab+bc+ca).$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=a+b+c+\dfrac{1}{abc}-\dfrac{9}{a+b+c}.$$
Trích đề thi chọn HSG Quốc Gia môn Toán – TP Hà Nội – 2014-2015
Giải
Không mất tính tổng quát, giả sử $a = \text{max}\{a,b,c\}.$
Từ giả thiết ta có $a^2 – 2a(b+c) + (b+c)^2 = 4bc \Leftrightarrow (a-b-c)^2 = 2\sqrt{bc}$. Vì $a$ là số lớn nhất nên $a=b+c+2\sqrt{bc} \overset{AM-GM}{\mathop \ge }\, 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{bc} = 4\sqrt{bc}.$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số $a, 4\sqrt{bc}, 4\sqrt{bc}$ với chú ý $4\sqrt{bc} \le a$ và $4\sqrt{bc} \le 2b + 2c$, ta có
$$\begin{align}
abc&=\frac{1}{16}\cdot a\cdot 4\sqrt{bc}\cdot 4\sqrt{bc} \\
& \le \frac{1}{16}\cdot \frac{{{\left( a+4\sqrt{bc}+4\sqrt{bc} \right)}^{3}}}{27} \\
& \le \frac{1}{16}\cdot \frac{{{\left( a+a+2b+2c \right)}^{3}}}{27} \\
& =\frac{{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}{54} \\
\end{align}$$
Từ đó ta có : $$\begin{align}
P & \ge a+b+c+\frac{54}{{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}-\frac{9}{a+b+c} \\
& =a+b+c+\frac{54}{{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}+2+2-\frac{9}{a+b+c}-4 \\
& \ge a+b+c+3\sqrt[3]{\frac{54}{{{\left( a+b+c \right)}^{3}}}\cdot 2\cdot 2}-\frac{9}{a+b+c}-4 \\
& =a+b+c+\frac{9}{a+b+c}-4 \\
& \ge 2\sqrt{\left( a+b+c \right)\cdot \frac{9}{a+b+c}}-4 \\
& =2. \\
\end{align}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases}a+b+c=3 \\ a=4b=4c \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=2 \\b=c=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là 2. $\blacksquare$