Bài toán: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $3\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )-7\left ( x ^{2}+y^{2}+z^{2}\right )+12=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^{2}}{x+2y}.$$Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có $3(x^4+y^4+z^4)\ge \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)^2$, do đó $$0 \ge \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)^2 – 7(x^2+y^2+z^2)+12.$$ Từ đó suy ra $x^2+y^2+z^2 \ge 3$. Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta lại có $$\begin{aligned}
P&=\frac{{{x}^{2}}}{y+2z}+\frac{{{y}^{2}}}{z+2x}+\frac{{{z}^{2}}}{x+2y} \\
& =\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}y+2z{{x}^{2}}}+\frac{{{y}^{4}}}{{{y}^{2}}z+2x{{y}^{2}}}+\frac{{{z}^{4}}}{{{z}^{2}}x+2y{{z}^{2}}} \\
& \ge \frac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x+2\left( x{{y}^{2}}+y{{z}^{2}}+z{{x}^{2}} \right)}. \\
\end{aligned}$$
Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc $ab+bc+ca \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$, ta có $$\begin{aligned}
{{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x & \le \sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\cdot \left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)} \\
& \le \sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\cdot \frac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{3}} \\
& =\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\sqrt{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}{3}}. \\
\end{aligned}$$
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được $$2\left( x{{y}^{2}}+y{{z}^{2}}+z{{x}^{2}} \right)\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\sqrt{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}{3}}.$$ Từ đó suy ra \[\begin{aligned}
P & \ge \frac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\sqrt{\dfrac{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}{3}}} \\
& =\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{3}} \\
& \ge 1. \\
\end{aligned}\] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$ nên giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$. $\blacksquare$