Đề bài: Cho $a, b, c$ là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$P=\dfrac{3(b+c)}{2a}+ \dfrac{4a+3c}{3b} + \dfrac{12(b-c)}{2a+3c}.$$Lời giải:
Cộng hai vế với 11, ta có
$$\begin{align}
P+11&=2+\frac{3(b+c)}{2a}+1+\frac{4a+3c}{3b}+8+\frac{12(b-c)}{2a+3c} \\
& =(4a+3b+2c)\left( \frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{4}{2a+3c} \right). \\
\end{align}$$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
$$\begin{align}
& \bullet \frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}\ge \frac{4}{2a+3b} \\
& \bullet \frac{4}{2a+3b}+\frac{4}{2a+3c}\ge \frac{16}{4a+3b+3c} \\
\end{align}$$
Từ đó suy ra $P+11 \ge 16,$ hay $P \ge 5.$
Đẳng thức xảy ra khi $c=b=\dfrac{2}{3}a$ nên giá trị nhỏ nhất của $P$ là $5$.
Bài toán được chứng minh xong. $\blacksquare$