Đề bài

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức $ab+bc+ca = 1$. Chứng minh rằng $$2abc(a+b+c) \le \dfrac{5}{9} + a^4b^2 + b^4c^2 + c^4a^2.$$

Lời giải

Lần lượt sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy+yz+zx$, và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, ta có :

$$\begin{align}
{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}&\ge {{a}^{2}}b\cdot {{b}^{2}}c+{{b}^{2}}c\cdot {{c}^{2}}a+{{c}^{2}}a\cdot {{a}^{2}}b \\
& =abc\left( a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}} \right) \\
& =abc\left( \frac{{{b}^{2}}}{\frac{1}{a}}+\frac{{{c}^{2}}}{\frac{1}{b}}+\frac{{{a}^{2}}}{\frac{1}{c}} \right) \\
& \ge abc\frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \\
& =\frac{{{\left[ abc\left( a+b+c \right) \right]}^{2}}}{ab+bc+ca} \\
& ={{\left[ abc\left( a+b+c \right) \right]}^{2}}. \\
\end{align}$$

Do đó bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được $$2abc(a+b+c) \le \dfrac{5}{9} +  {{\left[ abc\left( a+b+c \right) \right]}^{2}}. $$

Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với $$\left[abc\left(a+b+c\right) – \dfrac{1}{3} \right] \cdot \left[abc\left(a+b+c\right) – \dfrac{5}{3}\right] \ge 0.$$

Luôn đúng vì $abc\left(a+b+c\right) \le \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3} = \dfrac{1}{3}.$

Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c. \ \blacksquare$