Đề bài: Cho $x$ là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=\frac{\sqrt{3\left( 2{{x}^{2}}+2x+1 \right)}}{3}+\frac{1}{\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( 3-\sqrt{3} \right)x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( 3+\sqrt{3} \right)x+3}}$$
Lời giải

Bài toán này là câu 10 trong Đề thi minh họa kì thi THPT Quốc gia 2015 môn Toán. Lời giải của Bộ giáo dục là một lời giải đưa về hình học rất hay. Tôi xin giải bài này bằng đại số như sau:
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có $$\begin{aligned}
& \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( 3-\sqrt{3} \right)x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( 3+\sqrt{3} \right)x+3}} \\ & \ge \frac{4}{\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( 3-\sqrt{3} \right)x+3}+\sqrt{2{{x}^{2}}+\left( 3+\sqrt{3} \right)x+3}} \\
& \ge \frac{4}{\sqrt{2\left\{ \left[ 2{{x}^{2}}+\left( 3-\sqrt{3} \right)x+3 \right]+\left[ 2{{x}^{2}}+\left( 3+\sqrt{3} \right)x+3 \right] \right\}}} \\
& =\frac{2}{\sqrt{2{{x}^{2}}+3x+3}} \\
& \ge \frac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}+3x+3}}.
\end{aligned}$$
Từ đó ta có $$P\ge \frac{\sqrt{3\left( 2{{x}^{2}}+2x+1 \right)}}{3}+\frac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}+3x+3}}=Q.$$ Ta sẽ chứng minh $Q \ge \sqrt{3}$, tức là chứng minh $$\frac{\sqrt{3\left( 2{{x}^{2}}+2x+1 \right)}}{3}+\frac{2}{\sqrt{3{{x}^{2}}+3x+3}}\ge \sqrt{3},$$ hay $$\sqrt{\left( 2{{x}^{2}}+2x+1 \right)}+\frac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}\ge 3$$ Đặt $3t=\dfrac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}$ thì ta có $t>0$ và $3t=\dfrac{2}{\sqrt{{{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}}}\le \dfrac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow t\le \dfrac{4}{3\sqrt{3}}.$
Mặt khác, $3t=\dfrac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}}\Rightarrow {{x}^{2}}+x=\dfrac{4}{9{{t}^{2}}}-1\Rightarrow 2{{x}^{2}}+2x+1=2\left( \dfrac{4}{9{{t}^{2}}}-1 \right)+1=\dfrac{8}{9{{t}^{2}}}-1$.
Khi đó ta cần chứng minh bất đẳng thức 1 biến $t$ với $0<t\le \dfrac{4}{3\sqrt{3}}$ $$\sqrt{\frac{8}{9{{t}^{2}}}-1}\ge 3-3t.$$ Thật vậy, vì $3-3t\ge 3-3\cdot \dfrac{4}{3\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}-4}{3}>0$ nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$$\frac{8}{9{{t}^{2}}}-1\ge {{\left( 3-3t \right)}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{\left( 3t-2 \right)}^{2}}\left( 6t+2-9{{t}^{2}} \right)}{9{{t}^{2}}}\ge 0.$$
Bất đẳng thức này luôn đúng vì $$6t+2-9{{t}^{2}}\ge 6t-9\cdot \frac{4}{3\sqrt{3}}t+2=\left( 6-4\sqrt{3} \right)t+2\ge \left( 6-4\sqrt{3} \right)\cdot \frac{4}{3\sqrt{3}}+2=\frac{8\sqrt{3}-10}{3}>0.$$
Vậy $P\ge Q\ge \sqrt{3}.$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=0$ nên giá trị nhỏ nhất của P là $\sqrt{3}. \ \blacksquare$