Tăng Hải Tuân

Đề bài
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng: $${\displaystyle \frac{1}{2-a}}+{\displaystyle \frac{1}{2-b}}+{\displaystyle \frac{1}{2-c}}\ge 3$$Lời giải
Cách 1.
Ta có bất đẳng thức sau đây đúng
$${\displaystyle \frac{1}{2-a}}\ge {\displaystyle \frac{a^2+1}{2}},$$ bởi vì nó tương đương $a(a-1{)}^2\ge 0.$
Thiết lập hai biểu thức tương tự rồi cộng lại, ta có
$${\displaystyle \frac{1}{2-a}}+{\displaystyle \frac{1}{2-b}}+{\displaystyle \frac{1}{2-c}}\ge {\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}}=3.$$ Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fc.svg">}$
Cách 2.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$${\displaystyle \frac{a}{2-a}}+{\displaystyle \frac{b}{2-b}}+{\displaystyle \frac{c}{2-c}}\ge 3.$$ Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có $${\displaystyle \frac{a}{2-a}}+{\displaystyle \frac{b}{2-b}}+{\displaystyle \frac{c}{2-c}}\ge {\displaystyle \frac{(a+b+c{)}^2}{2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)}}={\displaystyle \frac{(a+b+c{)}^2}{2(a+b+c)-3}}.$$ Do đó, ta chỉ cần chỉ ra $${\displaystyle \frac{(a+b+c{)}^2}{2(a+b+c)-3}}\ge 3,$$ tương đương
$$(a+b+c{)}^2+9\ge 6(a+b+c).$$ Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$.
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fc.svg">}$
Cách 3.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$${\displaystyle \frac{a}{2-a}}+{\displaystyle \frac{b}{2-b}}+{\displaystyle \frac{c}{2-c}}\ge 3.$$
Ta sẽ chứng minh
$${\displaystyle \frac{9}{2(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)}}\ge 3.$$
Thậy vậy, bất đẳng thức này tương đương
$$a^4+b^4+c^4+3\ge 2(a^3+b^3+c^3),$$
hay
$$(a^4+a^2)+(b^4+b^2)+(c^4+c^2)\ge 2(a^3+b^3+c^3)$$
Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$.
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và đánh giá trên, ta có
$${\displaystyle \frac{a}{2-a}}+{\displaystyle \frac{b}{2-b}}+{\displaystyle \frac{c}{2-c}}\ge {\displaystyle \frac{{(a^2+b^2+c^2)}^2}{2(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)}}\ge 3$$
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fc.svg">}$