Đề bài
Cho $a, b, c $ là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{2-a}+\dfrac{1}{2-b}+\dfrac{1}{2-c} \ge 3$$Lời giải
Cách 1.
Ta có bất đẳng thức sau đây đúng
$$ \dfrac{1}{2-a} \ge \dfrac{a^2+1}{2},$$ bởi vì nó tương đương $ a(a-1)^2 \ge 0.$
Thiết lập hai biểu thức tương tự rồi cộng lại, ta có
$$ \dfrac{1}{2-a}+\dfrac{1}{2-b}+\dfrac{1}{2-c} \ge \dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3. $$ Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1. \ \blacksquare$
Cách 2.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$$\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c} \ge 3.$$ Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có $$ \dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)} = \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-3}.$$ Do đó, ta chỉ cần chỉ ra $$\dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-3} \ge 3,$$ tương đương
$$ (a+b+c)^2+9 \ge 6(a+b+c). $$ Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$.
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1. \ \blacksquare$
Cách 3.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$$ \dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c}\ge 3. $$
Ta sẽ chứng minh
$$ \dfrac{9}{2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)-\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right)}\ge 3.$$
Thậy vậy, bất đẳng thức này tương đương
$$ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3\ge 2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right), $$
hay
$$ \left( {{a}^{4}}+{{a}^{2}} \right)+\left( {{b}^{4}}+{{b}^{2}} \right)+\left( {{c}^{4}}+{{c}^{2}} \right)\ge 2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)$$
Hiển nhiên đúng theo $AM-GM$.
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và đánh giá trên, ta có
$$ \dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c}\ge \,\dfrac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{2}}}{2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)-\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right)}\ge 3 $$
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1. \ \blacksquare$

Leave a Reply

Your email address will not be published.