Bài toán
Hai chất điểm thực hiện dao động trên hai đường thẳng song song, nằm ngang, có gốc tọa độ nằm trên cùng đường thẳng có phương thẳng đứng. Phương trình dao động của mỗi vật tương ứng là : $$x_1=A_1\cos \left(\omega t + \varphi _1 \right) \ cm, \ x_2=A_2\cos \left(\omega t+ \varphi _2 \right) \ cm.$$ Gốc thời gian là lúc hai vật bắt đầu chuyển động, khoảng cách theo phương ngang giữa hai vật có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu ? Biết $A_1>A_2$
Lời giải
Khoảng cách theo phương ngang giữa hai vật là
\[\begin{align}
d & =\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right| \\
& =\left| {{A}_{2}}\cos (\omega t+{{\varphi }_{2}})-{{A}_{1}}\cos (\omega t+{{\varphi }_{1}}) \right| \\
& =\left| {{A}_{2}}\left( \cos \omega t\cdot \cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t\cdot \sin {{\varphi }_{2}} \right)-{{A}_{1}}\left( \cos \omega t\cdot \cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t\cdot \sin {{\varphi }_{1}} \right) \right| \\
& =\left| \left( {{A}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}}-{{A}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}} \right)\cdot \cos \omega t+\left( {{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}-{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}} \right)\cdot \sin \omega t \right| \\
\end{align}\] Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có
\[\begin{align}
d & \le \sqrt{{{\left( {{A}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}}-{{A}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}-{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}} \right)}^{2}}}\cdot \sqrt{{{\cos }^{2}}\omega t+{{\sin }^{2}}\omega t} \\
& =\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\left( \cos {{\varphi }_{1}}\cdot \cos {{\varphi }_{2}}+\sin {{\varphi }_{1}}\cdot \sin {{\varphi }_{2}} \right)} \\
& =\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}. \\
\end{align}\]
Đẳng thức xảy ra khi $\tan \omega t=\dfrac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}-{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}}-{{A}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}}}$ nên giá trị lớn nhất của $d$ là $$\boxed{d_{max}=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}}$$ Bài toán được giải quyết xong $\blacksquare$