Bài toán khoảng cách giữa hai vật dao động điều hòa

Bài toán
Hai chất điểm thực hiện dao động trên hai đường thẳng song song, nằm ngang, có gốc tọa độ nằm trên cùng đường thẳng có phương thẳng đứng. Phương trình dao động của mỗi vật tương ứng là : x1=A1cos(ωt+φ1) cm, x2=A2cos(ωt+φ2) cm. Gốc thời gian là lúc hai vật bắt đầu chuyển động, khoảng cách theo phương ngang giữa hai vật có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu ? Biết A1>A2
Lời giải
Khoảng cách theo phương ngang giữa hai vật là
d=|x2x1|=|A2cos(ωt+φ2)A1cos(ωt+φ1)|=|A2(cosωtcosφ2sinωtsinφ2)A1(cosωtcosφ1sinωtsinφ1)|=|(A2cosφ2A1cosφ1)cosωt+(A1sinφ1A2sinφ2)sinωt| Sử dụng bất đẳng thức CauchySchwarz, ta có
d(A2cosφ2A1cosφ1)2+(A1sinφ1A2sinφ2)2cos2ωt+sin2ωt=A12+A222A1A2(cosφ1cosφ2+sinφ1sinφ2)=A12+A222A1A2cos(φ1φ2).
Đẳng thức xảy ra khi tanωt=A1sinφ1A2sinφ2A2cosφ2A1cosφ1 nên giá trị lớn nhất của ddmax=A12+A222A1A2cos(φ1φ2) Bài toán được giải quyết xong ◼

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *