Bất đẳng thức thi thử lần 3 của nguoithay.vn năm 2014

Đề bài
Cho $a, \ b, \ c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c(a+b)+4c^2=4$. Tìm giá trị lớn nhất của $$P=\dfrac{a(b+c)^2}{a+c}+\dfrac{b(a+c)^2}{b+c}-\dfrac{1}{c}.$$Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc $\dfrac{(x+y)^2}{a+b} \le \dfrac{x^2}{a} + \dfrac{y^2}{b}$, ta có

$$\begin{align}
P&=\frac{a{{(b+c)}^{2}}}{a+c}+\frac{b{{(a+c)}^{2}}}{b+c}-\frac{1}{c} \\
& \le a\left( \frac{{{b}^{2}}}{a}+\frac{{{c}^{2}}}{c} \right)+b\left( \frac{{{a}^{2}}}{b}+\frac{{{c}^{2}}}{c} \right)-\frac{1}{c} \\
& ={{b}^{2}}+ac+{{a}^{2}}+bc-\frac{1}{c} \\
& =4-4{{c}^{2}}-\frac{1}{c} \\
& =1-\frac{\left( c+1 \right){{\left( 2c-1 \right)}^{2}}}{c} \\
& \le 1. \\
\end{align}$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1, \ c=\dfrac{1}{2}$ nên giá trị lớn nhất của $P$ là $1$ $\blacksquare$

Leave a Reply

Your email address will not be published.