Bất đẳng thức thi thử lần 1 của THPT Chuyên Amsterdam năm 2014

Đề bài
Cho $a, \ b, \ c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=3(a+b+c)+2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right).$$
Lời giải
Dễ thấy rằng $a < \sqrt{3}$ nên $4-a > 0$, do đó $$3a+\dfrac{2}{a} = \dfrac{a^2}{2}+\dfrac{9}{2}+\dfrac{(4-a)}{2a} \cdot (a-1)^2 \ge \dfrac{a^2}{2}+\dfrac{9}{2}.$$
Tương tự với $b, \ c$ rồi cộng vế với vế, ta được $$P \ge \dfrac{1}{2} \cdot (a^2+b^2+c^2) + \dfrac{9}{2},$$ hay $$P \ge 6.$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ nên giá trị nhỏ nhất của $P$ là $6 \ \blacksquare$

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *