Đề bài
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=3(a+b+c)+2({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}).$$
Lời giải
Dễ thấy rằng $a<\sqrt{3}$ nên $4-a>0$, do đó $$3a+{\displaystyle \frac{2}{a}}={\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{9}{2}}+{\displaystyle \frac{(4-a)}{2a}}\cdot (a-1{)}^2\ge {\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{9}{2}}.$$
Tương tự với $b,c$ rồi cộng vế với vế, ta được $$P\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (a^2+b^2+c^2)+{\displaystyle \frac{9}{2}},$$ hay $$P\ge 6.$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ nên giá trị nhỏ nhất của $P$ là $6\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fc.svg">}$